最近工坊君们在和做材料表面镀膜的同行聊天的时候，遇到了一个貌似显而易见又不好回答的问题。
熟悉工坊的小伙伴们估计发现我们又又又断更了两周……毕竟要暑假了（假装有暑假），时间紧任务重~最近工坊君们在和做材料表面镀膜的同行聊天的时候，遇到了一个貌似显而易见又不好回答的问题：
问：三个介质的交界点，局域电场为什么会显著增强？ 三个介电常数不同的介质相互接触，在接触点处会出现电场增强现象，这一现象，这一现象在实践中会造成两种结果：一方面，在介质中引起放电和击穿破坏介质；另一方面，三介质点是在真空中引起场致电子发射、产生电子束的重要方法。 对于三介质电场增强现象，我们大多是存在一个定性的认识。但是只有理解三介质电场增强，定量的掌握三介质电场增强的计算评估方法，才能在实践和科研中实现对放电的精细化控制，譬如聊天记录中的表面镀膜，譬如长寿命的激励器设计等，否则……
考虑下图所示的双介质交界点。该问题的核心在于Laplace方程在以介质交界点为原点的极坐标上的级数解：
上式中φ为介质中的电势，r为与交界点距离，An和Bn为未知数。上式表明，电势（或电场）的大小主要取决于指数项n和距离介质交界点的距离r，注意到r趋向0时，在原点处的电场为：
上式可见，n的解析表达式是破解电场增强问题的关键。将上述结论推广到三介质一般情况：
三个介质中各自的电势可以写成：
在介质的交界面，设定边界条件为电势相同，电位移通量相同，我们有如下边界条件：
上述关系可以写成六个线性方程，形成一个6×6的矩阵：
上述矩阵可以通过mathematica改写为：
由上式即可通过matlab等数学工具快速求解获得任意三介质通过任意角度接触的n值，从而估算电场增强程度。接下来我们就可以回答聊天中提到的问题了。建立如下所示的介质接触模型：
利用上式计算1-n随θ变化的规律，得到下图：
前面已经讲到，E~rn-1，那么可以根据上图，计算两介质90°接触时的电场增强幅度。r为0.1μm，θ=0°时E~1，而θ=90°时，E~56.25——相比双介质接触，三介质垂直接触时，在0.1μm尺度，电场会增强56.25倍，至此答案揭晓。
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