模拟tips（六）：电子能量方程的应用情境简析

常见的等离子体流体模型由泊松方程、连续方程和能量方程组成。其中能量方程属于基于局域能量近似的可选项——往期推送《等离子体模拟tips（二）：局域场和局域能量近似》曾简要介绍过局部场近似和局部能量近似的概念，指出“局域场近似仍然是大/高气压放电模拟的主流，但是在部分领域（如低气压流体方法模拟）中局域能量近似的地位是不可替代的”。定量的划定局域能量近似的应用范围，给定能量方程的应用情景，成为一件有趣的事情。

本期结合等离子体流体方程和放电物理实际，以空气为例，在局域场近似和局域能量近似假设的对比过程中，推导等离子体能量方程的应用情景。

考虑如下图所示的情境：

物理描述：等离子体沿着介质管传播，等离子体边缘（黄色区域）靠近介质壁处密度骤降形成鞘层，在这个区域，如果浓度梯度巨大使电子扩散速度大于漂移速度，则电子会顺着电场的方向运动——电子将会被电场减速、电子能量损失——电离反应减弱。

局域场近似描述：等离子体沿着介质管传播，等离子体边缘（黄色区域）靠近介质壁处密度骤降形成鞘层，在这个区域，巨大的鞘层电场将会无视电子运动方向加速电子——电离反应增强。

很显然，在这一情境下，局域场近似的偏离了物理真实性，需要基于能量方程的局域能量近似加以补充。那么以上情景可能发生吗？

做这样的假设：

1、存在这样的一个宽度为L的鞘层区域，

2、这一区域电子密度从Nemax线性将为0；

3、这一区域电子扩散速度大于漂移速度；

4、电子迁移率符合爱因斯坦关系式：D=μT；

根据假设3可以得到以下不等式：

根据假设1、4，可以将上式改写为

根据假设2，有Nemax/Neavg=2，于是有L<2T/E——如果我们要模拟的等离子体过程存在鞘层区域尺度L<2T/E，及电子温度与电场比值的2倍，则需要考虑使用能量方程。

为了直观的理解以上结论，我们通过BOLSIG+求解器得到L在不同折合电场E/N情况下，不同气压下L的大小：

上图中，nCD为27mbar下纳秒脉冲毛细管放电(Nanosecond Capillary Discharge)，nSDBD为1bar下表面介质阻挡放电(Nanosecond Surface Dielectric Barrier Discharge)。大气压下，阈值鞘层厚度为2~3μm，如果计算网格尺寸大于2~3μm，则可以牺牲鞘层的计算精度，采用局域场近似。27mbar下，阈值鞘层厚度为0.1mm，而为了保证数值算法精度，计算网格尺寸不应大于30μm——在这种情况下，能量方程就比不可少了。

感兴趣的粉丝，可以根据自己需要模拟的等离子体所属气压P，以上图中nSDBD蓝色线为基准，乘以系数k（k=1bar/P）即可得到对应气压P下的阈值鞘层厚度L。

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