模拟tips（四）：适合等离子体流体模型的气压-电场范围

模拟工坊团队和粉丝中既有使用流体方法，也有使用粒子(PIC/MCC)方法从事等离子体数值模拟的学者。如何为流体方法和粒子方法做一个分界，成为一个有趣的话题。

本期推送从等离子体动理论出发，以常温空气为例，通过极简的推导和演绎估算适用于等离子体流体模型的气压和电场范围，也为其他气体、温度下等离子体数值模拟方法选择提供参考（晕公式的朋友请直接看图看结论...）。

等离子体动理论认为，粒子的速度、位置随时间变化的规律可以用玻尔兹曼方程表示：

该方程无法直接求解，但是可以对该方程进行零阶、一阶近似，分别得到连续方程和动量平衡方程：

上述方程不闭合。若对动量平衡方程进行简化，认为左端第一项和第二项为0，则上面第二个式子可以改写为：

即著名的漂移扩散近似：

至此，一个最简单的流体模型已经搭建了起来。由上述推导可以发现，漂移扩散近似成立的前提是动量平衡方程左端项可以近似为0——那么弄清左端项的物理意义，就可以估算流体模型（漂移扩散近似）的适用范围了。

首先看动量平衡方程的第一项，忽略它的前提是：

其物理意义是放电过程中，碰撞对粒子行为的影响远远大于惯性影响。以上式子可以推导得到更简练的形式：

也就是说，要求等离子体的有效动量转移频率v远远大于电离频率vi。我们假定v需要至少十倍于vi，（以运动最快的电子为例）绘制v和vi随电场变化的曲线如下图所示：

可见，在折合电场【注1】E/N<2000 Td范围内，流体模型具有很好的适用性。

接下来再看第一项：

其物理意义是所研究粒子速度达到稳定（不发生碰撞且电场变化极小）所需要的时间T相对于所研究的等离子体放电时间尺度（~ns）很小。T可以通过取不同电场、气压下v的倒数获得。我们将T=1/v绘制为关于气压-电场的二维云图，并根据前面的结论，和所研究放电进行的时间尺度，绘制约束线如下图所示：

下侧的点画线来自简化第一项需要的约束，右侧的虚线来自简化第二项需要的约束。去除阴影区域，上图彩虹区域就是空气中流体模型的适用范围了。由图可见：

• 气压1mbar以上、电场2000Td以内，是高气压下等离子体环境、医学、农业、助燃、点火、流动控制等研究所处的范围，流体模型能够良好的反应等离子体放电的物理现象。

• 气压1mbar以下，是化学气相沉积、等离子体刻蚀、空间等离子体、电推进等研究所处的范围，流体模型普遍被证实不准确，是粒子-蒙特卡洛（PIC/MCC）模型所垄断的区域。

• 气压1mbar以上，电场2000Td以上，这一区域的等离子体特性，尚处于科学探索阶段。一方面，流体方法由于物理原因将逐渐失真；另一方面，粒子方法由于计算负荷原因也陷入困难的境地。一些团队正在尝试使用混合模型或极端简化的粒子模型来研究这一区域。

注1：折合电场计算公式：E(V/m)/N(1/m3)*1e21(Td/Vm2)

注2：文中粒子有效动量转移频率和电离频率可通过BOLSIG+求解，云图通过编写通用处理程序获得。

注3：我们划定了流体方法的适用范围，但并未划定粒子方法，事实上流体方法和粒子方法的气压-电场适用区域是部分重叠的。

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