COMSOL大法好（三）：弱形式与等离子体模拟

弱形式是有限元分析中看起来神秘而“高大上”的部分。COMSOL允许用户查看模型中的弱形式方程，并提供了一定的接口自定义弱形式方程。对于COMSOL用户来说，弱形式的意义主要有：

（1）降低对方程求导阶数（这是方程不稳定性的重要来源）；

（2）将多物理场问题统一处理；

由于等离子体模拟的复杂性并非来源于复杂的高阶方程，且COMSOL已经内置了比较完整的等离子体方程体系，在实际等离子体模拟中，弱形式方程的作用非常有限。

尤其需要注意的是，COMSOL对于用户定义的弱形式方程，只能使用最基本的解法离散求解，运行效果远不如内置的模块——换句话说，如果我们打开一个内置模块，把其中的弱形式方程全部复制粘贴出来，然后用自定义弱形式方程的方法重新建模，经常的结果是，用户根本无法复现内置模块的计算结果（甚至直接出错）。

尽管如此，在最基本的程度上了解弱形式方程的产生原理、书写规则，才能明确你所使用的COMSOL究竟离散了哪些方程，才能明明白白的模拟。本期以求解电势的泊松方程为例，推导弱形式方程，并提供案例文件供粉丝学习参考。

对于泊松方程：

可改写为：

对方程左侧乘以试函数（不必在意试函数是什么），并三维积分：

对第一项使用分部积分公式：

并由高斯定理消去第一项，由此，得到三维形式的泊松方程弱形式：

上式中，

上述推导出来的弱形式利用COMSOL即可直接求解。

工坊本期提供了一个利用弱形式COMSOL计算泊松方程在针-板构型下的解的算例，算例中包含弱形式解，COMSOL内置模块解以及解析解，供粉丝学习参考。关注等离子体模拟工坊，并在公众号中发言“COMSOL弱形式”即可获得下载连接。

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